As idade são 20 e 15 anos.

Chamaremos a idade que você tinha de x e a idade que tem hoje de y.
Como eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de x) , ou seja, eu tenho 2x anos.
Logo:
Você tinha x e agora tem y.
Eu tinha y e agora tenho 2x.
Desse modo podemos escrever:
y-x = 2x-y
2y=3x
x=(2/3)*y
Assim, substituindo o valor de x, temos:
Você tinha (2/3)*y e agora tem y. Eu tinha y e agora tenho (4/3)*y.
Agora preste atenção na segunda frase:
Quando você tiver a minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos.
Você tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, precisamos somar a sua idade y com mais (1/3)*y.
Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y.
Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja:
Agora eu tenho (4/3)*y + (1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y.
A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos:
(4/3)*y + (5/3)*y=45
(9/3)*y=45
3y=45
y=15
Lá no início descobrimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, logo x=10.
Assim, afinal veremos quais são as nossas idades!
Como foi dito no início, a sua idade atual é y, ou seja, 15 ANOS.
A minha idade é 2x, ou seja, 2.10, que é 20 anos.
A resposta é: as idades são 20 e 15 anos!

Porque a soma não dá 45 anos?

Alguns estudantes acreditam que somando as idades devemos obter 45. Porém, note que o enunciado não diz que a soma atual das idades é 45, mas sim que “Quando você tiver a minha idade, a soma das nossas idades será 45 anos“, ou seja, quando o de 15 tiver 20, o de 20 já terá 25 (20+25=45).

Porque as idades não são 9 e 18?

Alguns estudantes se equivocam e afirmam que existe outra resposta possível para as idades atuais, que seriam 9 e 18 anos. Porém essa resposta não é válida, pois não satisfaz a primeira frase do enunciado, que diz “Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a sua idade”, pois quando o de 18 tinha 9, o de 9 tinha zero. E sabemos que 9 não é o dobro de zero.